CC BY 4.0 （除特别声明或转载文章外）
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定义
- 椭圆：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$
- 双曲线：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$
- 抛物线：$y^2=2px(p>0)$
第二定义
| 离心率 | 准线 | |
|---|---|---|
| 椭圆 | $e=\frac{c}{a}$ | $x=\pm \frac{a^2}{c}$ |
| 双曲线 | $e=\frac{c}{a}$ | $x=\pm \frac{a^2}{c}$ |
| 抛物线 | $e=1$ | $x=-\frac{p}{2}$ |
- $e=\frac{A到焦点的距离}{A到准线的距离}(A在圆锥曲线上)$
- 第二定义可以有效解决相关A的轨迹的问题
焦点三角形面积
B在圆锥曲线上
- 椭圆： $S=\tan\frac{\angle F_1BF_2}{2}*b^2$
- 双曲线： $S=\cot\frac{\angle F_1BF_2}{2}*b^2$
- 抛物线： 你家抛物线双焦点？？？
齐次化构造
- 直线 $mx+ny=1$ 与椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 交于A,B两点，求 $k_{OA}*k_{OB}$ 。
$\frac{\beta}{\alpha^2}\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=(mx+ny)^2$
- 直线 $mx+ny=1$ 与双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 交于A,B两点，求 $k_{OA}*k_{OB}$ 。
$\frac{\beta}{\alpha^2}\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=(mx+ny)^2$
- 直线 $mx+ny=1$ 与抛物线 $y^2=2px(p>0)$ 交于A,B两点，求 $k_{OA}*k_{OB}$ 。
$\frac{\beta}{\alpha}\Rightarrow y^2=2px(mx+ny)$
等式两边同除 $x^2$ 得只关于 $k(\frac{y}{x})$ 的式子，利用韦达定理直接求解。
- 齐次化构造是将方程中的各项的次数统一
- 利用次数的统一可以巧妙的绕开对 $x,y$ 的具体表达，而直接地表示出它们的比值关系
- 求解时可以将题目中的直线方程化为 $mx+ny=1$ 以此来降低计算难度
切线方程
C( $x_0$ , $y_0$ )在圆锥曲线上
- 椭圆：$\frac{xx_0}{a^2}+\frac{yy_0}{b^2}=1$
- 双曲线：$\frac{xx_0}{a^2}-\frac{yy_0}{b^2}=1$
- 抛物线：$yy_0=p(x+x_0)(p>0)$
- D( $x_0$ , $y_0$ )在椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 外，E,F是过D的切线与椭圆的交点，求EF方程。
- $EF:\frac{xx_0}{a^2}+\frac{yy_0}{b^2}=1$