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导数
连续可导函数的导函数与x轴围成的面积表示原函数的变化量，以此可以将 $f’(x)$ 反向构成 $f(x)$ 。
证明： $\lim_{\Delta x \to 0}$
$\because f’(x)=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$
$\therefore f(x_t)-f(x_0)=\sum_{i={x_0}}^{x_t}f(i+\Delta x)+f(i)=\sum_{i={x_0}}^{x_t}f’(i)\cdot \Delta x$
锥
解： $S$ 表示底面积
$V=\sum_{i=0}^{h}[S \cdot (\frac{i}{h})^2 \cdot \Delta x]=\frac{S}{h^2}\sum_{i=0}^{h}(i^2 \cdot \Delta x)=\frac{S}{h^2}(\frac{1}{3}h^3)=\frac{1}{3}S \cdot h$
圆
将圆沿半径切成若干个扇形，当圆心角趋近于0时，将扇形上下相错排列，可以得到一个近似矩形的不规则图形，即得出：
- $S=\pi r^2$
- $C=2\pi r$
球
- $V=\frac{4}{3}\pi r^3$
- $S=4\pi r^2$
证明： $\Delta x$ 表示圆截面的厚度
$V=2\sum_{r=0}^{R}[\pi \cdot (R^2-r^2)\cdot \Delta x]=2\sum_{r=0}^{R}(\pi R^2 \cdot \Delta x)-2\sum_{r=0}^{R}(\pi r^2 \cdot \Delta x)=2\frac{R}{\Delta x}(\pi \cdot R^2 \cdot \Delta x)-\frac{2 \pi \cdot R^3}{3}=\frac{4}{3}\pi R^3$
$\because V=\frac{1}{3}h \cdot S$
$\therefore S=\frac{\frac{4}{3}\pi R^3}{\frac{1}{3} \cdot R}=4\pi R^2$